Page 15 - 水利学报2021年第52卷第11期

σ t
f t
E 0
骨料
(1 - d c )(1 - d t )E 0
砂浆
(1 - d t )E 0
ε 界面
裂纹面闭合
(1 - d c )E 0
E 0
f c
σ c
图 2 CDP 模型单轴应力-应变关系曲线 图 3 混凝土细观力学模型

图 2 为 CDP 模型单轴应力-应变关系曲线。多轴应力状态由单轴应力状态值拓展得到。关于该本
构模型的详细描述，可参考文献 ［30-31］ 。
2.4 突变性判据 突变性判据表示系统处于极限平衡状态，它将由一种平衡状态向另一种平衡状态

或非平衡状态转变，也就是说，系统的状态发生了突变 ［32］ 。突变性判据认为任何能够反映系统状态
突变的现象都可以作为失稳判据，如位移突变判据，能量突变判据等等。本文利用混凝土损伤开裂
过程中裂纹扩展的分形维变化规律来研究“均匀”损伤到局部破坏的临界判据。

3 混凝土拉应变与裂纹分形维关系的细观数值模拟

3.1 细观模型与计算参数 采用基于 Monte Carlo 法的随机骨料投放软件 ［16］ 生成二维细观混凝土正方

形试件，试件边长为 200 mm，骨料含量为 40%，粒径范围为 5 ~ 40 mm。建立了含界面过渡区（Inter⁃
facial Transmission Zone，ITZ）的二维混凝土三相复合材料数值模型（图 3）。
Scrivener 等 ［33］ 指 出 ， ITZ 厚 度 约 为 40 ~ 50 μm， 但 考 虑 到 计 算 工 作 量 ， 本 文 中 ITZ 厚 度 取 100

μm。在混凝土细观研究中，ITZ 的材料参数非常重要，但目前该参数较难由试验测得。通常认为 ITZ
的力学性能与水泥砂浆类似，略小于水泥砂浆 ［15-16，27］ ，本文 ITZ 参数的选取按砂浆参数的 80%进行折
减，具体计算参数见表 1。水泥砂浆和 ITZ 力学本构模型均使用 CDP 模型 ［16，27-28］ 。相比于砂浆基质及
界面区，骨料具有较大的拉、压强度，在静态甚至低速动态加载情况下，裂纹往往绕过强度较大的
骨料颗粒而从界面及砂浆中穿过 ［34-35］ ，因而可假定骨料为线弹性体 ［16，27，35］ 。混凝土试件的数值计算
中，为了避免网格效应，采用拉伸应力-位移模型替代应力-应变模型 ［16，23］ 。

表 1 各组分的计算参数 ［16，27］

材料类型 弹性模量 E/GPa 泊松比μ 拉伸强度 f t/MPa 裂纹极限宽度 w c/mm
骨料 80 0.16 15
砂浆 25 0.22 3 0.096
ITZ 20 0.2 2.4 0.096
3.2 网格尺寸的选择 对上述细观混凝土试件进行单轴拉伸，试件一端固定拉伸方向位移，另一
端使用位移控制荷载，当拉伸应变达到 600 με 时停止。裂纹分形维的计算需要提取损伤细节，因
此 需 要 研 究 网 格 划 分 对 结 果 的 影 响 。 对 上 述 模 型 以 四 节 点 平 面 应 力 四 边 形（CPS4R）单 元 剖 分 网
格，见图 4，利用统一尺寸划分网格，网格尺寸分别选取 1.0、1.5、2.0、2.5 和 3.0 mm；网格数量
分别为 54 828、26 622、16 738、9963 和 8715。不同网格尺寸的最终裂纹分布图和裂纹分形维见图 5。
从图 5 可以发现，随着网格尺寸大小的改变，最终的裂纹分布形态没有显著的改变，裂纹路径分
布基本一致。网格尺寸 1.0、1.5、2.0、2.5 和 3.0 mm 最后的裂纹分布分形维分别为 1.17、1.15、1.16、
1.22 和 1.23。整体上裂纹分形维随着网格尺寸的增大而增加，但最大差值约为 6.7%，说明网格尺寸
对裂纹分形维的影响很小。
不同网格尺寸的应力-应变曲线以及裂纹分形维-应变曲线见图 6。从图 6 中可以看出，随着网格

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