Page 110 - 2023年第54卷第2期

Δ ｔ
ｏｕｔ
ｏｕｔ
ｉｎ
ｙ（ｋ ＋ １） ＝ｙ（ｋ） ＋ Δ ｙ（ｋ） ＋ ［ Δ Ｑ （ｋ － ｋ） － Δ Ｑ （ｋ） － Δ ｑ （ｋ）］ （５）
τ
Ａ ｂ
第 ｉ个渠池状态变量、控制变量取为 ｘ（ｋ） ＝［ｙ（ｋ），Δ ｙ（ｋ），Δ Ｑ （ｋ － ｋ），Δ Ｑ （ｋ － ｋ － １ ），…，
τ ｉ
ｉ
τ ｉ
ｉ
ｉ － １
ｉ
ｉ － １
Ｔ
Δ Ｑ （ｋ － １ ）］，ｕ（ｋ） ＝ Δ Ｑ（ｋ），对 ｎ个渠池的状态变量、控制变量取并集，由式（５）可得系统控制模
ｉ
ｉ － １
ｉ
型如下：
ｘ（ｋ ＋ １ ） ＝Ｇｘ（ｋ） ＋ Ｈｕ（ｋ） （６）
式中：Ｇ为系统状态矩阵，ｍ × ｍ；Ｈ为控制矩阵，ｍ × ｎ；ｍ，ｎ分别为状态变量 ｘ（ｋ）和控制变量 ｕ（ｋ）
维度。
输配水系统控制常选定如下形式的控制目标：
!
Ｔ
Ｔ
ｍｉｎＪ ＝ ［ｘ（ｋ）Ｑｘ（ｋ） ＋ ｕ（ｋ）Ｒｕ（ｋ）］ （７）
∑
ｋ ＝０
式中：Ｑ为状态加权矩阵，ｍ× ｍ，是对称半正定矩阵；Ｒ为控制加权矩阵，ｎ × ｎ，是对称正定矩阵。
求解式（ ７）即得到线性二次型（ＬＱ）最优控制表达式如下：

ｕ （ｋ） ＝－ Ｋｘ（ｋ） （８）
式中 Ｋ为最优反馈矩阵，计算公式如下：
Ｔ
－ １
Ｔ
Ｋ ＝ （Ｒ ＋ Ｈ ＰＨ） Ｈ ＰＧ （９）
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
－ １
Ｐ ＝ Ｑ ＋ Ｇ ＰＧ － Ｇ ＰＨ（Ｒ ＋ Ｈ ＰＨ） Ｈ ＰＧ （１０）
ＬＱ考虑了渠池间的耦合作用，并通过最小化控制目标偏差求解，控制性能一般可满足要求。
ｏｕｔ
由式（５）推导式（６）时，忽略了扰动变量 Δ ｑ （ｋ），这是因为扰动变量通常是难以观测或预测的，
一般不能加入等式考虑。然而，在灌区输配水系统中，取水计划通常是已知的，而且在水联网灌区中，
取水口的流量也会进行实时观测。因此，可以增加扰动变量 ｄ（ｋ），建立如下形式的系统控制模型：
ｘ（ｋ ＋ １） ＝Ｇｘ（ｋ） ＋ Ｈｕ（ｋ） ＋ Ｚｄ（ｋ） （１１）
ｙ（ｋ） ＝Ｃｘ（ｋ） （１２）
式中：Ｚ为扰动矩阵；Ｃ为输出矩阵。利用该式对 ｋ ＋ ｐ时刻水位偏差的预测计算式如下：
ｐ
ｐ － ｉ
＾ （ｋ ＋ ｐｋ） ＝ＣＧ ｘ（ｋ） ＋
ｙ ｐ ∑ ＣＧ ［Ｈｕ（ｋ ＋ ｉ － １ ） ＋ Ｚｄ（ｋ ＋ ｉ － １ ）］ （１３）
ｉ ＝１
将预测时域内的各系统向量进行合并，即：
＾ （ｋ ＋ １ｋ）
ｙ ｕ（ｋ） ｄ（ｋ）
＾ （ｋ ＋ ２ｋ） ｕ（ｋ ＋ １） ｄ（ｋ ＋ １）
ｙ
＾
Ｙ（ｋ） ＝ ，Ｕ（ｋ） ＝ ，Ｄ（ｋ） ＝ （１４）
… … …
＾ （ｋ ＋ ｐｋ）
ｙ ｕ（ｋ ＋ ｐ － １ ） ｄ（ｋ ＋ ｐ － １ ）
则使用系统控制模型进行水位预测的公式可写为：
＾
Ｙ （ｋ） ＝Ｍ ｘ（ｋ） ＋ Ｍ Ｕ（ｋ） ＋ Ｍ Ｄ（ｋ） （１５）
ｕ
ｄ
ｘ
式中系数矩阵的表达式如下：
ＣＧ ＣＨ ０ … ０ ＣＺ ０ … ０
ＣＧ ２ ＣＧＨ ＣＨ … ０ ＣＧＺ ＣＺ … ０
Ｍ ＝ ，Ｍ ＝ ，Ｍ ＝ （１６）
ｄ
ｕ
ｘ
…        
ｐ － ２
ｐ － １
ｐ － ２
ｐ － １
ＣＧ ｐ ＣＧ Ｈ ＣＧ Ｈ … ＣＨ ＣＧ Ｚ ＣＧ Ｚ … ＣＺ
选定如下表达式为系统控制的性能指标，也即目标函数：
＾
＾
Ｔ
Ｔ
ｍｉｎＪ ＝ ［Ｙ（ｋ） － Ｙ（ｋ）］Ｑ［Ｙ（ｋ） － Ｙ（ｋ）］ ＋ Ｕ （ｋ）ＲＵ（ｋ） （１７）
ｒ
ｒ
式中：Ｙ（ｋ）为系统输出参考量，即系统控制作用下 Ｙ（ｋ）的控制目标值；Ｑ为状态加权半正定矩阵；
ｒ
Ｒ为控制加权正定矩阵。将系统预测式（１４）代入式（１６），可得到：
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｊ ＝ Ｕ （ｋ）［（ＱＭ ）ＱＭ ＋ Ｒ Ｒ］Ｕ（ｋ） － ２ （ＱＭ ）Ｑ［Ｙ（ｋ） － Ｍ ｘ（ｋ） － Ｍ Ｄ（ｋ）］Ｕ（ｋ）
ｘ
ｄ
ｕ
ｕ
ｒ
ｕ
Ｔ
＋ ｛Ｑ［Ｙ（ｋ） － Ｍ ｘ（ｋ） － Ｍ Ｄ（ｋ）］｝｛Ｑ［Ｙ（ｋ） － Ｍ ｘ（ｋ） － Ｍ Ｄ（ｋ）］｝ （１８）
ｒ ｘ ｄ ｒ ｘ ｄ
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４