Page 122 - 2023年第54卷第2期

阳坡坡脚为 Ｃ点。
２．２ 法向控制微分方程的建立及求解 图 ２为坡板、底板的冻胀变形状态。ｏ － ｘｙ为整体坐标系，其
中渠坡以坡顶为原点，沿坡面指向坡脚为 ｘ轴正方向，垂直坡面指向基土一侧为 ｙ轴正方向；渠底则以
阴坡坡脚为原点，沿底面指向阳坡坡脚为 ｘ轴正方向，垂直底面指向基土一侧为 ｙ轴正方向。ｏ′ － ｘ′ｙ′为
单块预制板的局部坐标系，以靠近整体坐标系 ｏ点的一端为原点，ｘ′轴、ｙ′轴正方向与整体坐标系相同。
借鉴弹性地基有限杆单元法的思想，首先以单块预制板为研究对象进行单元分析。以阴坡第（ｉ）块预
（ｉ）
制板为例，依据 Ｗｉｎｋｌｅｒ理论 ［２３ － ２４］ ，以被约束冻胀量 ｕ′ （ｘ）为基本未知量的挠曲线微分方程如下式：
ｍ
４
（ｉ）
４
（ｉ）
ＥＩ·ｄｕ′ （ｘ′）?ｄｘ＋ ｋ ｕ′ （ｘ′） ＝０ （１）
ｃ
ｍ
ｍ
ｏｍ
（ｉ）
４
式中：Ｅ为混凝土弹性模量，Ｐａ；Ｉ为惯性矩，ｍ ；ｋ 为阴坡冻胀力系数 ［１８］ ，Ｎ?ｍ；ｕ′ （ｘ′）为局部坐
ｃ ｏｍ ｍ
标系下阴坡第（ ｉ）块板被约束冻胀量，ｍ。变量中上标带 “撇”为局部坐标系下，不带为整体坐标系下。

图 ２ 坡板冻胀变形状态及预制板单元 图 ３ 底板冻胀变形状态
２
参照文献［１６，１８，２５ － ２６］，基床系数 ｋ可由下式计算：ｋ＝ ０．６５（１ ＋ ｖ）Ｅ，其中 ｋ为基床系数，
０
ｆ
０
０
２
Ｎ?ｍ ；ｖ为泊松比；Ｅ为冻土弹性模量，Ｐａ。基床系数是指土体－ 结构接触面某处发生单位沉降时引起
ｆ
的接触面应力大小。冻胀力系数是指当渠基土冻胀变形因受到衬砌板约束导致无法到达天然冻胀位置
时，单位位移被约束在接触面引起的约束反力即冻胀力大小。可见两者间有一定的相似性。鉴于此，
结合文献［８，１８，２７ － ２８］，对 ｋ作修正如下：
０
２
ｋ ＝ ε ｋ＝ ０ ．６５ ε （１ ＋ ｖ）Ｅ ｆｍ （２）
ｏｍ
０
式中：ε 为修正系数，按文献［８，１８］取值；Ｅ 为阴坡冻土弹性模量。
ｆｍ
式（１）为四阶齐次方程，通解为：
（ｉ） β ｍ ｘ′ （ｉ） （ｉ） － β ｍ ｘ′ （ｉ） （ｉ）
ｍ１
ｍ３
ｕ′ （ｘ′） ＝ｅ ［ｃ ｃｏｓ（ β ｍ ｘ′） ＋ ｃ ｓｉｎ（ β ｍ ｘ′）］ ＋ ｅ ［ｃ ｃｏｓ（ β ｍ ｘ′） ＋ ｃ ｓｉｎ（ β ｍ ｘ′）］ （３）
ｍ
ｍ４
ｍ２
１?４
（ｉ）
（ｉ）
（ｉ）
（ｉ）
＝ （ｋ ?４ＥＩ） ；ｃ 、ｃ 、ｃ 、ｃ 为任意常数。可见就坡板而言，ｎ块预制板将共有 ４ｎ个
式中：β ｍ
ｏｍ ｃ ｍ１ ｍ２ ｍ３ ｍ４
任意常数需要进一步确定。为此，引入板间连续性条件及渠坡两侧端部边界条件，并注意到砂浆填缝
［６］
可以视为铰结点（即各预制板两端弯矩应为零） ，可得定解条件如下：
３
（１）
２
（１）
ｄｕ′ （０） ｄｕ′ （０）
ｍ ｍ
＝ ０ ， ＝ ０ ；
２
３
ｄｘ ｄｘ
２
（１）
２
３
（１）
（２）
（２）
３
ｄｕ′ （ｌ） ｄｕ′ （０） ｄｕ′ （ｌ） ｄｕ′ （０）
ｍ ｔ ｍ （１） （２） ｍ ｔ ｍ
＝ ０ ， ＝ ０ ，ｕ′ （ｌ） ＝ｕ′ （０）， ＝ ；
３
２
３
ｄｘ ２ ｄｘ ｍ ｔ ｍ ｄｘ ｄｘ
…… （４）
３
（ｎ）
２
（ｎ）
（ｎ － １ ）
（ｎ － １ ）
２
３
ｄｕ′ （ｌ） ｄｕ′ （０） ｄｕ′ （ｌ） ｄｕ′ （０）
ｍ
ｍ
ｍ
ｔ
ｔ
ｍ
（ｎ）
（ｎ － １）
＝ ０， ＝ ０；ｕ′ （ｌ） ＝ｕ′ （０）， ＝ ；
ｔ
ｍ
ｍ
２
３
３
２
ｄｘ ｄｘ ｄｘ ｄｘ
（ｎ）
２
ｄｕ′ （ｌ）
ｔ
ｍ
（ｎ）
ｕ′ （ｌ） ＝ｕ ， ＝ ０
ｍ ｔ ０ｍ ２
ｄｘ
式中 ｕ 为阴坡基土自由冻胀量，ｍ。
０ｍ
式（ ４）共含边界条件 ４个，板间连续性条件 ２（ｎ － １ ）个，“砂浆填缝处弯矩为零” 条件 ２（ｎ － １ ）个，
共 ４ｎ个等量关系，可解出 ４ｎ个任意常数，从而问题得解。再依据 Ｗｉｎｋｌｅｒ假设，可得渠道阴坡第（ｉ）
块预制板与冻土间接触面法向应力可由下式计算：
— ２ ４ —
６