Page 63 - 2023年第54卷第2期

率分布，造成使用者忽略了模型背后损失状态 Ｌｓ与危险性强度 ｈ关系的假设，同时也影响了自身的扩
展性，在这种模型表达形式下，很难考虑多个危险性强度因素对损失状态的共同影响。
２．２．２ 损失状态回归模型 基于此，本文将 Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ的概率脆弱性曲线模型纳入到回归分析框架下，
用隐变量（ ｌａｔｔｅｎｖａｒｉａｂｌｅ）解释 Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ模型潜在的线性回归结构，构建损失状态脆弱性曲线回归模
型。研究假定各损失状态发生与否取决于某种不可观测的隐变量损失指数 Ｉ，该指数与危险性强度 ｈ
相关。若损失指数 Ｉ达到或超过临界值 ０，则损失状态发生，Ｌｓ ＝ １ ；否则不发生，Ｌｓ ＝ ０ ：
{ Ｌｓ ＝ １ ，Ｉ ≥０ （４）
Ｌｓ ＝ ０ ，Ｉ＜０
则损失状态 Ｌｓ的期望可表示为：
Ｅ（Ｌｓ） ＝１ × Ｐ（Ｌｓ ＝ １ ） ＋ ０ × Ｐ（Ｌｓ ＝ ０ ） ＝Ｐ（Ｌｓ ＝ １ ） ＝Ｐ（Ｉ ≥０） （５）
由此可见，损失状态 Ｌｓ的期望，取决于损失指数 Ｉ的分布。基于损失指数 Ｉ的不同分布，可构建
不同的损失状态脆弱性曲线回归模型。
（１）Ｌｏｇｎｏｒｍａｌ模型。假设危险性强度 ｈ与损失指数 Ｉ为幂函数关系：
β １ ε
ｈ ｅ，ε ～Ｎ（０，１） （６）
Ｉ ＝ β ０
式中：ε 为随机误差项，服从标准正态分布；β 为未知参数；ｈ为危险性强度。
将损失指数对数转换，显示其线性关系：
 
＋ ｌｎ（ｈ） ＋ ε
Ｉ ＝ β ０ β １ （７）
 
ｉ
式中：Ｉ ＝ ｌｎ（Ｉ）；β ０ ＝ ｌｎ（ β ０ ）。
则损失状态期望的回归方程可以表示为危险性强度 ｈ对数形式的标准正态累积分布函数：
１ β  ＋ β １ ｌｎ（ｈ）
０
 － ｘ ２ ?２
＋ ｌｎ（ｈ）） ＝
Ｅ（Ｌｓ） ＝Ｆ（ β ０ β １ ∫ ｅ ｄｘ （８）
槡 ２ π ０
同样的数据，Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ的概率模型和 Ｌｏｇｎｏｒｍａｌ回归模型获得的脆弱性曲线是一致的，但所求参
数不同，参数解释也并不相同。概率模型在原尺度 ｈ上，ｅｘｐ（ｕ）代表了概率分布的中位数，参数的意
义可以理解为使承灾体达到某一损失状态的危险性强度 ｈ的中位数。而回归模型的回归参数则表达了
危险性强度 ｈ与隐变量损失指数 Ｉ的线性关系，进而反映损失达到某一状态的概率。
ｉ
（ ２）Ｌｏｇｉｔ模型。假设损失指数 Ｉ与危险性强度 ｈ为简单线性关系，且随机误差项 ε服从 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ
分布：
＋ ｈ ＋ ε ，ε ～Ｌｏｇｉｓｔｉｃ（０，１） （９）
Ｉ ＝ β ０ β １
－ ｈ），由 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ
＋ ｈ ＋ ε≥０） ＝Ｐ（ ε≥ － β ０ β １
可推导出损失状态 Ｌｏｇｉｔ模型：Ｅ（Ｌｓ） ＝Ｐ（Ｉ ≥０） ＝Ｐ（ β ０ β １
＋ ｈ），其中，Ｆ是 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ累积分
－ ｈ） ＝Ｐ（ ε≤β ０ β １
分布的对称性可以继续推导 Ｐ（ ε≥ － β ０ β １ ＋ ｈ） ＝Ｆ（ β ０ β １
布函数，则模型可以表达为：
１
＋ ｈ） ＝ （１０）
Ｅ（Ｌｓ） ＝Ｆ（ β ０ β １ － （ β ０ ＋ β １ ｈ）
１ ＋ ｅ
（３）Ｐｒｏｂｉｔ模型。若假设损失指数 Ｉ与危险性强度 ｈ的关系为简单线性关系，且随机误差项 ε服从
标准正态分布：
＋ ｈ ＋ ε ，ε ～Ｎ（０，１） （１１）
Ｉ ＝ β ０ β １
＋ ｈ），其中，Ｆ是标准正态累积分布函数，则模型可以表达为：
同上可得，Ｅ（Ｌｓ） ＝Ｆ（ β ０ β １
１ β ０ ＋ β １ ｈ
－ ｘ ２ ?２
＋ ｈ） ＝ ∫ ｅ ｄｘ （１２）
Ｅ（Ｌｓ） ＝Ｆ（ β ０ β １
槡 ２ π ０
三种模型在技术上相同，不同点在于隐变量损失指数 Ｉ与危险性强度 ｈ的关系，以及随机误差项
ε 的假设。已知随机误差项的分布，三种模型皆可以用最大似然法进行参数估计。对于参数的解释，
表明危险性强度 ｈ，每增加一个单位，损失状态
Ｌｏｇｉｔ模型可以通过机会比率对数进行线性解释，即 β １
表明在给定危险性强度 ｈ条件下，
Ｌｓ机会比率对数的变化情况。在 Ｐｒｏｂｉｔ模型和 Ｌｏｇｎｏｒｍａｌ模型中，β １ ０
。
＋ ｈ） 与 ｆ（ β ０ β １
每变动一单位，损失状态 Ｌｓ发生的概率增加 ｆ（ β ０ β １ ０ β １ ＋ ｌｎ（ｈ）） β １
０
— １ ８ ７ —