Page 62 - 2023年第54卷第2期

表示危险性强度 ｈ的相对变化（百分比变化），引起的损失率 Ｌｒ的绝对变
参数 β ０ 的解释同上。参数 β １
化（数量变化），如水深变动 １％引起的损失率变化值。此模型可以拟合自变量与因变量的非线性关系，
参数具有一定的可解释性。同时，对数变换可以降低危险性强度 ｈ间的量级差距对建模的影响。
２．１．２ 对数模型 对数模型对因变量损失率进行对数变换：ｇ（Ｌｒ） ＝ｌｎ （Ｌｒ），利用对数尺度的损失率数
＋ ｈ。斜率参
据进行回归分析。其中，对数线性模型（ Ｌｏｇ － ｌｉｎｅａｒＭｏｄｅｌ）的回归函数形式为：ｆ（ｈ） ＝ β ０ β １
表示危险性强度 ｈ的绝对变化，引起的损失率 Ｌｒ的相对变化，如水深每增加 １ｃｍ引起的损失率
数β １
＋ ｌｎ（ｈ）。斜率参
的变化率（百分比变化）。双对数模型（ Ｌｏｇ － ｌｏｇＭｏｄｅｌ）的回归函数形式为：ｆ（ｈ） ＝β ０ β １
表示危险性强度 ｈ的相对变化，引起的损失率 Ｌｒ的相对变化，如水深变动 １％引起的损失率的百
数β １
分比变化。
两种模型可捕捉自变量与因变量的非线性关系，参数也具有可解释性。但对数线性模型假设自变
量变化，将会导致因变量呈指数变化。这与随着水深增大，损失率增长放缓的实际情况不符。此外，
由于 ０的对数不存在，针对损失率 Ｌｒ为 ０的情况，数据需特殊处理。
２．１．３ 概率曲线模型 尽管前述线性模型及对数模型较为常用，但也存在一个重要问题，即理论上不
能保证随着危险性强度 ｈ的增加，损失率预测值完全落在［０，１］区间。因此，可引入另外两种损失率
的变换形式：通过将损失率 Ｌｒ与（１ － Ｌｒ）的比值取对数，进行逻辑变换：ｇ（Ｌｒ） ＝ｌｏｇｉｔ （Ｌｒ），构建逻辑
－ １
曲线模型（ ＬｏｇｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅＭｏｄｅｌ）；通过概率累积分布函数的反函数变换：ｇ（Ｌｒ） ＝Ｆ （Ｌｒ），构建累积概
率曲线模型（ ＣＤＦｃｕｒｖｅＭｏｄｅｌ）。其中 Ｆ（·）为任意概率累积分布函数。前者可理解为后者的一种特殊
形式。
形式上，两种方法都可拟合脆弱性曲线，并保证损失率完全落在［０，１］区间。但理论上，此类模
型的参数解释存在困难。对于逻辑曲线模型来说，Ｌｏｇｉｔ变换的内涵是构建机会比率对数，即 事 件 发
生与不发生的概率比值的对数。然而，损失率并非损 失发 生 的概 率，Ｌｒ和（１ － Ｌｒ）比 值 的理论含义
从理论上难以解释。与此类似，ＣＤＦ函 数 本质 上 对 应的 也是 损失 发生的
不明确，导致参数 β ０ 和 β １
概率而非损失率，通 过 ＣＤＦ变 换 可 以 给 出 形 式 上 的 拟 合 曲 线，但 模 型 的 参 数 同 样 缺 乏 可 解 释 性。
这也是两种以拟合形式给出的概率曲线模型与后文以损失状态为因变量的 Ｌｏｇｉｔ模型、Ｐｒｏｂｉｔ模型的
本质区别。
２．２ 以损失状态为因变量的脆弱性曲线模型（ｆｒａｇｉｌｉｔｙｃｕｒｖｅ） 在研究中，连续且准确的损失率数据
获取存在困难，多数时候只能大致确定损失的离散状态，如未损失、轻度损失、中度损失、重度损
失、完全损失等。在此情况下，很难直接拟合危险性强度与损失率之间的关系。因此，需要构建以损
失状态为因变量的脆弱性曲线模型。Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ的概率模型是应用较为广泛的损失状态脆弱性曲线模
型。因此，首先对该模型进行简介，再从回归分析的角度，对损失状态脆弱性曲线模型和损失率脆弱
性曲线模型进行一致性的考证。
２．２．１ Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ的概率脆弱性曲线模型 Ｓｈｉｎｏｚｕｋａ等 ［２２］ 针对地震灾害的桥梁建筑物损失，提出了基
于 Ｌｏｇｎｏｒｍａｌ分布的概率脆弱性曲线模型。Ｎａｋａｎｏ等 ［２３］ 将其扩展到商业停滞损失方面，Ｙａｎｇ等 ［２４］ 进
一步扩展到洪涝灾害企业停滞损失方面。模型假设危险性强度 ｈ所对应的损失状态 Ｌｓ的发生概率可由
双参数的 Ｌｏｇｎｏｒｍａｌ分布表示：
)
( ｌｎ（ｈ） － ｕ
ｐ（Ｌｓ ＝ １ｈ） ＝Ｆ（ｈ） ＝ Φ σ （２）
式中：Φ（·）为标准正态函数；Ｌｓ为损失状态，Ｌｓ ＝ １ 表示损失状态发生，Ｌｓ ＝ ０表示损失状态未发生；
ｕ和 σ两个未知参数分别为 ｌｎ（ｈ）的均值和方差。模型通过最大似然法求解，似然函数 Ｌ表达如下：
Ｎ
Ｌ ＝ ∏ ［Ｆ（ｈ）］ ［１ － Ｆ（ｈ）］ １ － Ｌｓ ｉ （３）
Ｌｓ ｉ
ｉ
ｉ
ｉ ＝１
式中：ｈ为样本 ｉ的水深值；Ｌｓ为样本 ｉ的损失状态；Ｆ（ｈ）为样本 ｉ损失状态发生的概率。
ｉ ｉ ｉ
该模型可以独立或者同时估计多个损失状态发生的概率。在多种损失状态同时估计时，为防止曲
线交叉，需设定每条脆弱性曲线的标准差一致 ［２２］ 。尽管如此，该模型在形式上如同危险性强度 ｈ的概
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