Page 123 - 2023年第54卷第5期

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４机组。将式（１８）分别代入式（７）和式（８）中可消掉变量 ξ １ 和 ξ ２ 。
３．５ 机组运动方程
ｄ φ ｊ
Ｔ ａ ＝ ｐ － ｘ － Ｓφ ｊ （２０）
ｊ
ｊ
ｐ
ｄｔ
式中：ｘ＝ （Ｘ－ Ｘ ）?Ｘ 为负荷变化相对值，无量纲；Ｘ 为机组负荷，ＭＷ；Ｓ 为负荷自调节系数，无
ｊ
ｊ
ｊ，０
ｊ，０
ｊ
ｐ
量纲；Ｔ 为机组惯性时间常数，ｓ。将式（１９）代入式（２０）可消掉变量 ｐ。
ａ ｊ
３．６ 水轮机调速器方程
２
ｄ μ ｊ ｄφ ｊ ｄ φ ｊ
（ｂ ＋ ｂ）Ｔ ｄ ＋ ｂμ ｊ ＝－ ＴＴ － （Ｔ＋ Ｔ） － φ ｊ （２１）
ｎ
ｐ
ｔ
ｄ
ｄ ｎ
ｐ
２
ｄｔ ｄｔ ｄｔ
式中：ｂ为调速器暂态转差系数，无量纲；ｂ 为调速器永态转差系数，无量纲；Ｔ 为调速器缓冲时间
ｄ
ｐ
ｔ
常数，ｓ；Ｔ 为调速器微分时间常数，ｓ。
ｎ
根据 ３．１—３．６节方程的推导，建立图 １中的抽水蓄能电站输水发电系统小波动稳定分析的数学模
Ｑ ３，０ ａ＋ ａ ４ Ｑ ４，０ ａ＋ ａ ３
２
２
型。令 ｍ＝ （１ ＋ ），ｎ ＝ （１ ＋ ），上述方程进行变形简化求解后的结果如式（２２）。
ｇ ａ ３ ｇ ａ ４
ｓ － Ｓ ｓ ｓ ｓ － Ｓ ｓ ｓ ｘ
１
ｄ φ １ ９ Ｐ １０ ８ ｘ ｄ φ ２ ９ Ｐ １０ ８ ２
＝ φ １ ＋ μ １ ＋ ｑ－ ； ＝ φ ２ ＋ μ ２ ＋ ｑ－ ；
ｄｔ Ｔ ａ Ｔ ａ Ｔ ａ ３ Ｔ ａ ｄｔ Ｔ ａ Ｔ ａ Ｔ ａ ４ Ｔ ａ
２
ｄ μ １ Ｔ ｄφ １ Ｔ＋ Ｔ ｄ ｄ φ １ １ ｂ
ｎ
ｎ
ｐ
＝－ － － φ １ － μ １ ；
２
ｄｔ ｂ ＋ ｂ ｄｔ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ ｄｔ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ
ｔ ｐ ｔ ｐ ｄ ｔ ｐ ｄ ｔ ｐ ｄ
２
ｐ
ｎ
ｄ μ ２ Ｔ ｄφ ２ Ｔ＋ Ｔ ｄ ｄ φ ２ １ ｂ
ｎ
＝－ － － φ ２ － μ ２ ；
２
ｄｔ ｂ ＋ ｂ ｄｔ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ ｄｔ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ ｄ （ｂ ＋ ｂ）Ｔ ｄ
ｐ
ｔ
ｐ
ｔ
ｔ
ｐ
ｄ
ｐ
ｔ
ｄｑ １ ２ｈ ｄｑ １ ２ｈ ７，０
１
１，０
７
＝－ ｚ － ｑ； ＝ ｚ － ｑ； （２２）
ｄｔ Ｔ １ Ｔ Ｈ １ ｄｔ Ｔ ２ Ｔ Ｈ ７
ｗ１ ｗ１ ０ ｗ７ ｗ７ ０
ｄｑ ａＨ ２ ａｈ （ａ＋ ａ）Ｈξ １ ２ （ａ＋ ａ）ｈ ａＨξ ２ ２ ａｈ
３ ２ ０ ２ ２，０ ２ ４ ０ ２ ４ ３，０ ２ ０ ４ ４，０
＝ （ｚ － ｚ） － ｑ－ － ｑ＋ ＋ ｑ；
ｄｔ ｍ １ ２ ｍ ２ ｍ ｍ ３ ｍ ｍ ４
ｄｑ ａＨ ２ ａｈ （ａ＋ ａ）Ｈξ ２ ２ （ａ＋ ａ）ｈ ａＨξ １ ２ ａｈ
４ ２ ０ ２ ２，０ ２ ３ ０ ２ ３ ４，０ ２ ０ ３ ３，０
＝ （ｚ － ｚ） － ｑ－ － ｑ＋ ＋ ｑ；
ｄｔ ｎ １ ２ ｎ ２ ｎ ｎ ４ ｎ ｎ ３
ｄｚ Ｑ Ｑ Ｑ ｄｚ Ｑ Ｑ Ｑ
１ １，０ ３，０ ４，０ ２ ３，０ ４，０ ７，０
＝ ｑ－ ｑ－ ｑ； ＝ ｑ＋ ｑ－ ｑ
ｄｔ ＦＨ １ ＦＨ ３ ＦＨ ４ ｄｔ ＦＨ ３ ＦＨ ４ ＦＨ ７
１ ０ １ ０ １ ０ ２ ０ ２ ０ ２ ０
＃ ＃ ＃ ＃
、
式中：φ １ 、φ ２ 为 ３机组和 ４机组的转速变化相对值，μ １ μ ２ 为 ３机组和 ４机组的导叶开度变化相对
＃
＃
值，ｑ、ｑ、ｑ、ｑ 为引水隧洞、压力主管、３压力支管、４压力支管和尾水隧洞的流量变化相对值，
７
４
３
１
ｚ、ｚ为上、下游调压室的水位变化相对值，其余参数为常量。
１ ２
以上 １０个状态变量构成了一组独立变量，用来描述图 １中的抽水蓄能电站输水发电系统发生小
反映了水轮机调速系统的动态调节过程；ｑ、ｑ 反映了压力
波动时的动态特性，其中 φ １ 、φ ２ 、μ １ 、μ ２ ３ ４
管道流量变化的动态过程；ｑ、ｑ、ｚ、ｚ反映了输水隧洞流量变化和调压室水位波动的动态过程。
１ ７ １ ２
将式（ ２２）写成矩阵向量的形式，得到关于系统状态变量的矩阵方程：
ｄＸ
＝ ＭＸ ＋ Ｎ （２３）
ｄｔ
Ｔ
，ｑ，ｑ，ｑ，ｑ，ｚ，ｚ］ 为系统状态向量；Ｍ 为系统状态矩阵，由式（２２）
１ ３ ４ ７ １ ２
式中：Ｘ ＝ ［ φ １ ，φ ２ ，μ １ ，μ ２
Ｔ
中的状态变量的系数构成的矩阵，Ｍ 为 １０ × １０矩阵；Ｎ＝ ［ － ｘ， － ｘ，０，０，０，０，０，０，０，０］ 为系
统扰动量，ｘ为扰动值，Ｎ为 １０ × １矩阵，可由式（２２）求得。
由文献［２０］可知，通过系统状态矩阵 Ｍ 的特征值可判断系统稳定性，当全部特征值实部均小于 ０
时，系统发生小波动时保持稳定，其中矩阵 Ｍ 的特征值为式（２３）对应特征方程的解。
式（ ２３）对应的特征方程为：
— ６ ２ ５ —