Page 125 - 2023年第54卷第5期

４．２ 基于状态矩阵特征值的小波动振荡特性分析 将表 １和表 ２中的参数以及选定的水轮机调速器参
数等代入式（ ２２）中，求解出微分方程组中状态变量的系数，得到系统的状态矩阵 Ｍ。利用式（２５）求
，计算结果如表 ３所示。由表 ３可知，状态矩阵 Ｍ 的特征值实部均小于
出系统特征方程的特征值 λ ｋ
零，系统受扰动后振荡衰减且保持稳定。同时矩阵 Ｍ 的特征值存在 ４对共轭复根，表 明 系统受扰动
、 、 对应振荡环节的振荡角频率为
后存在 ４个振荡环节，分别对应于 λ ２，３ λ ４，５ λ ７，８ 和 λ ９，１０ 。其中 λ ２，３
和
０．３０９ｒａｄ?ｓ，λ ４，５ 、λ ７，８ 和 λ ９，１０ 对应振荡环节的振荡角频率分别为 ０．０９２、０．０４３和 ０．０５７ｒａｄ?ｓ，λ ７，８
对应振荡环节的振荡角频率接近。从特征值角度看，系统发生小波动后存在明显的振荡角频率差
λ ９，１０
模态。因此可以确定由
别，存在频率较高的 λ ２，３ 模态，频率较低的 λ ７，８ 和 λ ９，１０ 模态，角频率居中的 λ ４，５
产生的振荡环节对应机组转速
λ ２，３ 产生的振荡环节对应机组转速振荡时域过程的主波，由 λ ７，８ 和 λ ９，１０
振荡时域过程的尾波。
０．０７３ ０ － ０．１３８ ０ ０．２９４ ０ ０ ０ ０ ０
０ ０．０７３ ０ － ０．１３８ ０ ０．２９４ ０ ０ ０ ０
－ ０．４７９ ０ ０．２７７ ０ － ０．５８８ ０ ０ ０ ０ ０
０ － ０．４７９ ０ ０．２７７ ０ － ０．５８８ ０ ０ ０ ０
－ １．１８８ ０．６４５ １．３５７ － ０．７３７ － １．８５４ ０．９９３ ０ ０ ０．６８７ － ０．６８７
Ｍ＝
０．６４５ － １．１８８ － ０．７３７ １．３５７ ０．９９３ － １．８５４ ０ ０ ０．６８７ － ０．６８７
０ ０ ０ ０ ０ ０ － ０．０１０ ０ － １．４５６ ０
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ － ０．００９ ０ ０．７１６
０ ０ ０ ０ － ０．００１ － ０．００１ ０．００２ ０ ０ ０
０ ０ ０ ０ ０．００１ ０．００１ ０ － ０．００３ ０ ０

表 ３ 系统受到 １０％的负荷扰动下的状态矩阵特征值 λ ｋ
状态矩阵 Ｍ 的特征值 λ ｋ （ λ ｋ σ ＋ ω ｊ；ｋ ＝ １ ，２，…，１０；ｊ为虚部单位）
＝
０ ０
－ ２．１７８ － ０．１７０
λ １ λ ６
－ ０．１６９±０．３０９ｊ － ０．００２±０．０４３ｊ
λ ２，３ ０ λ ７，８ ０
－ ０．１６０±０．０９２ｊ － ０．００４±０．０５７ｊ
λ ４，５ ０ λ ９，１０ ０
通过求解状态矩阵 Ｍ 的特征值，可知系统在发生小波动后存在 ４个振荡环节，但仅通过系统特征
值无法确定与之相对应的状态变量。因此，为进一步明确振荡环节产生的因素，确定各频率振荡的主
导调节环节，基于文献［ ２２］介绍的相关因子分析法，通过求解状态变量与特征值之间的相关因子来确
定两者之间的对应关系。假设 Ｖ 和 Ｕ 为状态矩阵 Ｍ 的第 ｋ个特征值对应的左特征向量和右特征向
ｋ
ｋ
Ｔ
量，满足下列关系式，其中 Ｖ 和 Ｕ 满足 Ｖ Ｕ ＝ １ 。
ｋ ｋ ｋ ｋ
Ｔ Ｔ
ｋ ｋ
Ｖ Ｍ＝ λ ｋ Ｖ （２６）
Ｕ （２７）
ＭＵ ＝ λ ｋ
ｋ ｋ
定义系统第 ｔ个状态变量与第 ｋ个特征值的相关因子表达式为：
ｖｕ
ｐ ＝ ｔｋ ｔｋ （２８）
ｔｋ
Ｔ
Ｖ Ｕ
ｋ ｋ
式中：ｖ和 ｕ分别为 Ｖ 和 Ｕ 的第 ｔ行元素。ｐ值越大说明第 ｔ个状态变量与第 ｋ个特征值相关性越强，反
ｔｋ
ｔｋ
ｋ
ｋ
ｔｋ
之则弱；ｐ ＝ ０ 说明第 ｔ个状态变量与第 ｋ个特征值之间无关；ｔ ＝ １ ，２，…，１０；ｋ ＝ １ ，２，…，１０。
ｔｋ
通过式（２８）求解状态变量与特征值之间的相关因子，结果如表 ４所示。
，
针对系统存在的 ４个振荡环节进行分析，由表 ４可知：与 λ ２，３ 表现出相关性较强的状态变量为 φ １
体现
φ ２ ，μ １ ，μ ２ ，ｑ，ｑ，相关因子分别为 ０．２１５、０．２１５、０．４４１、０．４４１、０．５７５和 ０．５７５，可知由 λ ２，３
４
３
表现出相关性较强的状态变量为
的振荡环节主要由水轮机调速系统和压力管道流量波动主导；与 λ ４，５
— ６ ２ ７ —