Page 140 - 2025年第56卷第9期
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dI s < 0 （12）
dS
d( I s × S )
dS > 0 （13）
式中：I 为空间域平均强度；S 为覆盖面积，大于 0 且小于一场干旱事件中发生干旱的全部格点数目。
s
第二步，联立非线性函数关系，对式（13）变形得式（14）（15），由式（15）（12）可得式（16），引入空
间系数 b（0 < b < 1），建立表征空间域平均强度与覆盖面积函数关系的微分方程，即式（17）。
S ⋅ dI s + I s ⋅ dS
dS > 0 （14）
S dI s
⋅ + 1 > 0 （15）
I s dS
S
0 < - ⋅ dI s < 1 （16）
I s dS
S
b = - ⋅ dI s （17）
I s dS
第三步，求解微分方程，可得空间域平均强度与覆盖面积之间的函数方程（22），理论推导如下。
变换式（17），得到式（18）
1 1
-b ⋅ dS = ⋅ dI s （18）
S I s
进一步得到式（19）
-b ⋅ d( lnS) = d( lnI s) （19）
对等式左右同时积分
s s
∫ - b ⋅ d( lnS) = ∫ ( ) （20）
d lnI s
1 1
式中 s 为重排序列的统计干旱覆盖面积；
lnI s( s) = -blns + lnI s(1) （21）
式中：I（s）为空间域平均强度；lnI（1）为常数，I（1）≥1，代表了覆盖面积为 1 时的理论空间域平均强
s
s
s
度。对于一个干旱事件而言，空间系数 b 为常数，而不同干旱事件的空间系数不同。
I s( s) = I s(1) ⋅ s -b （22）
式（22）为空间域平均干旱强度与覆盖面积之间的函数方程。如式（21）（22）所示，空间域平均强度
的自然对数与覆盖面积的自然对数之间呈线性负相关关系，空间域平均强度与覆盖面积的负指数幂之
间成正比。
3.3 时空域上干旱强度的理论分布函数方程 时空域上强度的理论分布函数推导分为两个步骤：第一
步，使用两组函数方程表征时间域平均强度与时间长度、空间域平均强度与覆盖面积之间的函数关
系，由式（11）可得式（23），由式（22）得式（24）。第二步，基于两组函数方程，推导时空域平均强度与
时间长度、覆盖面积的函数表达式，具体推导过程如式（25）—（27）所示。
I e( n，S) = I e(1，S) ⋅ n -a （23）
I s(T，s) = I s(T，1) ⋅ s -b （24）
分别对式（23）（24）取值，可得到
I e( n，s) = I e(1，s) ⋅ n -a （25）
I s( n，s) = I s( n，1) ⋅ s -b （26）
式中：n 为事件历时 T 的取值；s 为覆盖面积 S 的取值。
对式（25）取值得到
I s( n，1) = I es(1，1) ⋅ n -a （27）
式中 I（1，1）为常数，表示时间长度为 1，覆盖面积为 1 时理论时空域平均强度。
es
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