Page 72 - 2022年第53卷第10期

符号统一用下标 ｍ表示。
累计淤积量平衡值计算中涉及的初始河床边界参数，有概化河底纵剖面的初始比降 Ｊ 、潼关断
ｍ０
面的初始概化河底高程 Ｚ 和坝前断面的初始概化河底高程 Ｚ 。
ｔｇｍ０ ｄｍ０
图 ３中的冲淤平衡时的概化河底纵剖面比降、概化河底纵剖面起始高程及潼关断面概化河底高程
分别记为 Ｊ 、Ｚ 、Ｚ 。类似式（４）和（７），Ｚ 和 Ｚ 可分别表示为：
ｔｇｍ
ｅｍ
ｅｍ
ｔｇｍ
ｅｍ
＾
Ｚ ＝ Ｋ′（Ｚ － Ｚ ） ＋ Ｚ′ （１１）
ｅｍ １ ｄ２ ｄｋ ｍ
＾
ａ２ ｂ２
ｃ２
Ｚ ＝ Ｋ′（Ｚ － Ｚ ） ＋ Ｋ Ｊ ＬＱ ξ （Ｚ－ Ｚ ） ＋ Ｚ′ （１２）
ｍ ｍ０
ｔｇｍ
ｄ２
１
ｄｋ
ｄｋ
ｍ
ｄ
＾
式中：Ｋ′和 Ｋ 为系数；ａ、ｂ、ｃ为指数；Ｚ′为起始高程常数项；Ｚ 为年加权水位，其计算公式同
１ ｍ ２ ２ ２ ｍ ｄ２
＾
式（５），但流量与含沙量的指数与 Ｚ 有所不同，为作区分将日均入库流量 Ｑ 的指标表示为 ζ ，将日
ｔｇｉ
ｄ１
均入库含沙量 Ｓ的指标表示为 η ，计算公式如下：
ｉ
ｎ ｎ
＾
ζ
ζ
η
ｄ２ ∑
Ｚ ＝ Ｑ ＳＺ ｄｉ∑ Ｑ Ｓ η （１３）
ｔｇｉ ｉ
ｔｇｉ ｉ
ｉ ＝１ ｉ ＝１
按照图 ３所示水库冲淤平衡纵剖面，累计淤积量平衡值 Ｖ可表示为：
ｅ
ＢＬ
Ｖ＝ ［（Ｚ － Ｚ ） ＋ （Ｚ ｅｍ － Ｚ ）］ （１４）
ｔｇｍ
ｄｍ０
ｔｇｍ０
ｅ
２
分别将 Ｚ 和 Ｚ 的计算式（１１）和（１２）代入式（１４）有：
ｔｇｍ
ｅｍ
ＢＬ ａ２ ｂ２ ｃ２
＾
Ｖ＝ ｛［２Ｋ′（ Ｚ － Ｚ ） ＋ Ｋ Ｊ ＬＱ ξ （Ｚ－ Ｚ ） ＋ ２Ｚ′］ － （Ｚ ｔｇｍ０ ＋ Ｚ ）｝
ｄ
ｄｍ０
ｍ
ｄｋ
ｍ ｍ０
ｄｋ
ｅ
１
ｄ２
２
（ １５）
ＢＬ ａ２ ｂ２ ｃ２
＾
＝ ｛［２Ｋ′（ Ｚ － Ｚ ） ＋ Ｋ Ｊ ＬＱ ξ （Ｚ－ Ｚ ） ］ － （Ｚ ＋ Ｚ ） ＋ ２Ｚ′｝
２ １ ｄ２ ｄｋ ｍ ｍ０ ｄ ｄｋ ｔｇｍ０ ｄｍ０ ｍ
进一步化简，可得如下累计淤积量平衡值计算公式：
＾
ａ２ ｂ２
ｃ２
Ｖ＝ Ｋ（ Ｚ － Ｚ ） ＋ ＫＱ ξ （Ｚ－ Ｚ ） ＋ Ｖ （１６）
ｄｋ
４
ｅ
ｄｋ
ｄ２
３
ｄ

ＢＬ ２ ＢＬ
式中：Ｋ ＝ ＢＬＫ′；Ｋ ＝ Ｊ Ｋ ；Ｖ ＝ ＢＬＺ′－ （Ｚ ｔｇｍ０ ＋ Ｚ ）。考虑到比降与 Ｑ和Ｚ成反比，而与 ξ 成
１
ｄｍ０
ｄ
３
４
ｍ
ｍ０ ｍ
２  ２
正比，定性上应有：ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＜０。
２ ２ ２
２．３ 滞后响应模型单步解析模式迭代计算方法 当考虑 β 随时段变化时，应用滞后响应模型的多步递
推模式计算较为复杂 ［１７］ ，因此，本文采用单步解析模式（式（１））对潼关高程和累计淤积量进行计算。
对于外部扰动阶梯状变化的情况，一个时段（水文年）的河床调整结果，无论是否已经达到平衡状态，
都将作为下一个时段的初始条件对河床演变产生影响，并由此使前期的水沙条件对后期的河床演变产
生影响 ［２］ 。
因此，在本文模型中，每个时段的特征变量平衡值分别根据对应时段内的年均入库流量、年均来
沙系数、年加权水位和年均坝前水位确定，将上一时段特征变量的计算结果作为下一时段的初始条
件，采用式（ １）逐时段计算每个时段末特征变量的状态值，依次递推便可以得到经过多个时段后的特
征变量状态值，如图 ４。
单步递推公式的一般形式可表示为：
－ βΔ ｔ
－ βΔ ｔ
ｙ＝ （１ － ｅ ）ｙ ＋ ｅ ｙ ｉ － １ （１７）
ｅ，ｉ
ｉ
式中：Δ ｔ为时段长度；ｉ为时段序号。
将潼关高程和累计淤积量作为特征变量代入式（１７），通过逐时段递推可以得到潼关高程和累计淤
积量的逐年计算值：
－ βΔ ｔ
－ βΔ ｔ
Ｚ＝ （１ － ｅ ）Ｚ ＋ ｅ Ｚ ｉ － １ （１８）
ｅ，ｉ
ｉ
－ βΔ ｔ － βΔ ｔ
Ｖ＝ （１ － ｅ ）Ｖ ＋ ｅ Ｖ （１９）
ｉ ｅ，ｉ ｉ － １
式中：Ｚ 和 Ｚ分别为第 ｉ － １ 和 ｉ年末的潼关高程计算值；Ｚ 为第 ｉ年的潼关高程平衡值；Ｚ为潼关
ｉ － １ ｉ ｅ，ｉ ０
高程初始值，采用 １９７４年末潼关高程实测值；Ｖ 和 Ｖ分别为第 ｉ － １和 ｉ年末的累计淤积量计算值；
ｉ － １ ｉ
１
— １ ２ ０ —