Page 126 - 2022年第53卷第12期

依据有限 Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的有限正弦变换形式的基本特性可知：
Ｈ
∫
Ｆ（ｚ，ｔ） ＝ ｆ（ｚ）ｓｉｎ（ａｚ）ｄｚ ＝ 珋 （３５）
ｆ（ｊ）
ｊ
１
０
２ ∞
ｆ（ｚ） ＝ ∑ 珋 ｊ （３６）
ｆ（ｊ）ｓｉｎ（ａｚ）
１
Ｈ ｊ ＝１
Ｆ″（ｚ，ｔ） ＝－ ａ 珋 ｊ ｊ ｊ （３７）
２
ｆ（ｊ） ＋ ａｆ（０） － （ － １）ａｆ（Ｈ）
ｊ １
２
Ｆ′（ｚ，ｔ） ＝－ ａ 珋 ｆ（ｊ） （３８）
ｊ ０
式中 Ｈ为有限正弦变换的积分范围，ａ＝ （２ｊ ＋ １ ） π ?２Ｈ（ｊ ＝ ０ ，１，２，…）。
ｊ
这里采用 Ｌａｐｌａｃｅ变换如下：
∞
ｇ（ｓ） ＝
ｆ（ｔ）ｅ ｄｔ
Ｇ（ｔ） ＝ 珘 ∫ － ｓｔ （３９）
０
对饱和度微区间段内的方程组采用有限正弦变换和 Ｌａｐｌａｃｅ变换，则式（２７）（２８）可进一步整理为：
２
ｕ（ｚ，ｓ）
ｕ（ｚ，ｓ） － ｕ ） ＋ ｂ（ｓ 珔 ａ
ａ（ｓ 珔 ｗ ｕ（ｚ，ｓ） － ｕ ） ＝－ Ｋａ珔 ｗ （４０）
１ ｗ０ １ ａ０ １ ｊ
２
ｕ（ｚ，ｓ）
ｗ０
ａ（ｓ 珔 ａ ａ０ ２ ｕ（ｚ，ｓ） － ｕ ） ＝－ Ｋａ珔 ａ （４１）
ｕ（ｚ，ｓ） － ｕ ） ＋ ｂ（ｓ 珔 ｗ
２ ｊ
２
通过解该二元一次方程组得到：
２
（ａｕ ＋ ｂｕ ）（ａ＋ Ｋａ） － （ａｕ ＋ ｂｕ ）ｂ １
２ ａ０
１ ｊ
１ ｗ０
１
２ ｗ０
１ ａ０
ｕ（ｚ，ｓ） ＝ （４２）
珔 ｗ
２
２
（ａａ－ ｂｂ）ｓ ＋ （ａＫｓ ＋ ａＫｓ ＋ ＫＫａ）ａ ２
１ ２ １ ２ １ ２ ２ １ １ ２ ｊ ｊ
（ａｂ－ ｂｂ）ｕ － （ａｂ－ ｂｂ）ｕ ａ０
１ ２
１ ２
１ ２
１ ２
ｗ０
ｕ（ｚ，ｓ） ＝ （４３）
珔 ａ
２
２
（ａａ－ ｂｂ）ｓ ＋ （ａＫｓ ＋ ａＫｓ ＋ ＫＫａ）ａ ２
１ ２
１ ２
１ ２ ｊ
１ ２
２ １
ｊ
对式（ ４２）（４３）采用有限正弦逆变换与 Ｌａｐｌａｃｅ逆变换，得到饱和度微区间段内方程组的解析解：
４ ∞ Ｆ（ｊ，ｔ）
ｗ
２
ｕ（ｚ，ｔ） ＝ ｑ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）ｓｉｎｍｚ （４４）
∑
ｗ
π ｊ ＝０ ２ｊ ＋ １
４ ∞ Ｆ（ｊ，ｔ）
ａ
２
∑
ｕ（ｚ，ｔ） ＝ ｑ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）ｓｉｎｍｚ （４５）
ａ
π ｊ ＝０ ２ｊ ＋ １
Ｓ
［ｕ 珔 ａ－ ｕ （１ － 珔 ）ａ］ （４６）
Ｓ
１ ２
２ １
２ １
１ ２
Δ １１ ＝ ｂＫ Δ １２ ＝ ｂＫ Δ ２１ ＝ ａＫ Δ ２２ ＝ ａＫ Δ ＝ γ ｗ ａ０ ｒ（ｉ） ２ ｗ０ ｒ（ｉ） ２
２
－
＋
２ｊ ＋ １ Δ １１ Δ ２２ ２槡 （ Δ １１ Δ ２２ ）＋ ４ Δ １２ Δ ２１
ｍ＝ Ｃ ＝ ω ＝ ｍ （４７）
２ Ｈ ２ Δ ２ Δ
－
ｕ ｗ０ （ｕ ?ｑ）（ Δ ２２ Δ １１ ） ＋ ２ （ｕ ?ｑ） Δ １２
ａ０
ｗ０
Ｆ（ｊ，ｔ） ＝ ｃｈ ω ｔ ＋ ｓｈ ω ｔ （４８）
ｗ
ｑ － ２
槡 （ Δ １１ Δ ２２ ）＋ ４ Δ １２ Δ ２１
－
ｕ ａ０ ２ （ｕ ?ｑ） Δ ２１ ＋ （ｕ ?ｑ）（ Δ １１ Δ ２２ ）
ａ０
ｗ０
Ｆ（ｊ，ｔ） ＝ ｃｈ ω ｔ ＋ ｓｈ ω ｔ （４９）
ａ
ｑ ＋ ２
槡 ）＋ ４ Δ １２ Δ ２１
（ Δ １１ Δ ２２
由式（ ２４）—（２８）、式（４６）（４７）可知，参数 Ｃ不仅能反映非饱和土中各组分密度与饱和度的变化，
而且能够综合考虑渗气、渗水特性，实质上为非饱和土的固结系数。
通过上述的求解过程可知，式（ ４８）（４９）仅为固结过程中某一个饱和度微区间段内孔隙水压力与孔
隙气压力消散的解析解，对于最终的解析解，还需要通过饱和区间上的线性叠加来得到。
３．３ 饱和度微区间段内土层沉降变形量的计算 由式（１３）与式（１６）联立而得：
２
ｕ ε ｖ １  ｕ ｗ  ｕ ａ
＝ ＝－ Ｄ[ 珔 ＋ （１ － 珔 ） ] （５０）
Ｓ
Ｓ
 ｚ  ｔ  ｔ ｒ（ｉ）  ｔ ｒ（ｉ）  ｔ
因此，饱和度微区间段内的土层变形量 ｗ（ｔ）可表示为：
Ｈ Ｈ １
∫ ｄｚ ＝－ ∫ ［ 珔 ｕ（ｚ，ｔ） ＋ （１ － 珔 ）ｕ（ｚ，ｔ）］ｄｚ （５１）
Ｓ
Ｓ
ｗ（ｔ） ＝ ε ｖ ｒ（ｉ） ｗ ｒ（ｉ） ａ
０ ０ Ｄ
将式（４４）—（４５）代入式（５１）可将土层变形量进一步整理为：
１
— １ ５ ８ —