Page 127 - 2022年第53卷第12期
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Ｓ
Ｓ
４ ｑ ∞ 珔 Ｆ（ｊ，ｔ） ＋ （１ － 珔 ）Ｆ（ｊ，ｔ）
ｒ（ｉ）
ａ
ｗ
ｒ（ｉ）
２
ｗ（ｔ） ＝－ ∑ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）（１ － ｃｏｓｍＨ） （５２）
Ｄ π ｊ ＝０ ｍ（２ｊ ＋ １ ）
３．４ 解析解的线性叠加 由于 ２．４节为方便计算对饱和度区间进行了离散线性化，因此，在求得第 ｉ
个饱和度微区间段内的解析解（式（４４）（４５）和式（５２））后对其进行线性叠加，从而得到固结微分方程
组的最终解析解：
４ ｌ ｌ ∞ Ｆ（ｊ，ｔ）
ｗ
２
ｕ（ｚ，ｔ） ＝ ｑ ｕ（ 珔 ） ＝ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）ｓｉｎｍｚ （５３）
Ｓ
ｒ（ｉ） ∑∑
∑
ｗ ｗ
π ｉ ＝０ ｉ ＝０ ｊ ＝０ ２ｊ ＋ １
４ ｌ ｌ ∞ Ｆ（ｊ，ｔ） ２
ａ
∑
ｒ（ｉ） ∑∑
ｕ（ｚ，ｔ） ＝ ｑ ｕ（ 珔 ） ＝ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）ｓｉｎｍｚ （５４）
Ｓ
ａ ａ
π ｉ ＝０ ｉ ＝０ ｊ ＝０ ２ｊ ＋ １
Ｓ
Ｓ
４ｑ ｌ ∞ 珔 Ｆ（ｊ，ｔ） ＋ （１ － 珔 ）Ｆ（ｊ，ｔ）
ｒ（ｉ）
ａ
ｒ（ｉ）
ｗ
２
ｗ（ｔ） ＝－ ∑∑ ｅｘｐ（ － ｍ Ｃｔ）（１ － ｃｏｓｍＨ） （５５）
Ｄ π ｉ ＝０ ｊ ＝０ ｍ（２ｊ ＋ １ ）
需注意：由式（ ２７ｂ）、（２８ｂ）、（４６）—（４９）可知，式（５３）—（５５）中 Ｆ（ｊ，ｔ）和 Ｆ（ｊ，ｔ）均包含了
ａ
ｗ
珔 项。
Ｓ ｒ（ｉ）
３．５ 非饱和土固结微分方程组的有限差分解 Ｆｒｅｄｌｕｎｄ等 ［３］ 将非饱和土的水、气两相固结微分方程组
整理为差分形式的线性方程组，结合大面积均布瞬时加荷所述的边界条件和初始条件，采用迭代法得
到了非饱和土一维固结问题的有限差分数值解。本节根据图 １所示的非饱和土层固结计算模型，绘制
出水、气两相有限差分网格（图 ３），采用文献［３］所述有限差分方法，将 ２．４节所推得的考虑渗气渗水
系数变化的固结微分方程组（式（ ２７）（２８））写成如下有限差分形式：
ｕ（ ι ，τ ＋ １） － ｕ（ ι ，τ ） ｕ（ ι ，τ ＋ １） － ｕ（ ι ，τ ） ｕ（ ι ＋ １，τ ） － ２ｕ（ ι ，τ ） ＋ ｕ（ ι － １，τ ）
ｗ
ａ
ｗ
ｗ
ｗ
ｗ
ａ
ａ ＋ ｂ １ ＝ Ｋ １
１
２
Δ ｔ Δ ｔ Δ ｚ
（５６）
ｕ（ ι ，τ ＋ １） － ｕ（ ι ，τ ） ｕ（ ι ，τ ＋ １） － ｕ（ ι ，τ ） ｕ（ ι ＋ １，τ ） － ２ｕ（ ι ，τ ） ＋ ｕ（ ι － １，τ ）
ａ
ａ
ｗ
ａ
ａ
ａ
ｗ
ａ － ｂ ＝ Ｋ
２ ２ ２ ２
Δ ｔ Δ ｔ Δ ｚ
（５７）
需要指出：在有限差分计算过程中，采用了式（２０）所示渗透函数与式（２１）所示渗气渗水函数。
图 ３ 有限差分法中水、气两相的差分网格
将式（５６）（５７）整理可得：
ａβ ｗ ｂβ ａ
２
１
ｕ（ ι ，τ ＋ １ ） ＝ｕ（ ι ，τ ） ＋ ｇ １（ｗ） － ｆ （５８）
１（ａ）
ｗ
ｗ
ａａ＋ ｂｂ ａａ＋ ｂｂ
１ ２ １ ２ １ ２ １ ２
２
ｂβ ｗ ａβ ａ
１
ｕ（ ι ，τ ＋ １ ） ＝ｕ（ ι ，τ ） ＋ ｇ １（ｗ） ＋ ｆ （５９）
ａ
ａ
１（ａ）
ａａ＋ ｂｂ ａａ＋ ｂｂ
１ ２
１ ２
１ ２
１ ２
式中：ι 为深度方向上的距离增量；τ 为时间增量；
— １ １ ９ —
５
