Page 125 - 2024年第55卷第7期

不确定参数的违反约束概率越小，此时模型对不确定参数波动的保护程度越高，即模型稳健性高。
模型基于对偶理论求解上述非线性目标，引入强对偶参数得到式（ ６）—（９）的对偶形式，得到水质
保护与用水效率的主从博弈稳健对偶模型，上层水质保护主体的稳健对偶形式表示如下：
ｍｉｎｆ（ｘ）
Ｕ
ｍ ｎ ６ ｍ ｎ
{ ∑∑ １０（Ｃ ＋Ｎ ＋Ｐ ＋Ｈ） 珋 ｉｊ １ ＋ ｐ ≤ ｆ（ｘ），ｉ，ｊ
ｅｘ ＋ｚ Γ ｅ ∑∑
ｊ
ｊ
ｊ
１ｉｊ
Ｕ
ｊ
ｊ
Ｃ １ ｉ ＝１ ｊ ＝１ ｉ ＝１ ｊ ＝１
ｅ）ｘ，ｉ，ｊ
ｚ ＋ｐ ≥ （ ε ｅ 珋 ｉｊ
１
ｉｊ
１ｉｊ
{ ｘ ＋ｚ Γ Ｄ ＋ｐ ≤ Ｄ ，ｉ，ｊ
ｉｊ
ｉｊ
２
２ｉｊ
Ｃ ２
２ｉｊ
ｚ ＋ｐ ≥ ε ｄ Ｄ ｉ，ｊ （１０）
２
ｉｊ
{ α Ｄ ＋ｚ Γ Ｄ ＋ｐ ≤ ｘ，ｉ，ｊ
３
ｉｊ
３ｉｊ
ｉｊ
Ｃ ３
３ ３ｉｊ ｉｊ
ｚ ＋ｐ ≥ αε ｄ Ｄ ｉ，ｊ
ｍ ｎ
{ ∑∑ ｘ ＋ｚ Γ ＡＷ ＋ｐ ≤ ＡＷ，ｉ，ｊ
４
４
ｉｊ
Ｃ ｉ ＝１ ｊ ＝１
４
ｚ ＋ｐ ≥ ε ＡＷ ＡＷ，ｉ，ｊ
４ ４
下层水资源利用主体的稳健对偶形式表示如下：
ｍａｘｆ（ｘ）
Ｌ
ｍ ｎ － ４ ｍ ｎ
＋
∑∑
{ ｉ ＝１ ｊ ＝１ １０ Ｎ 珔 ｘ ＋ｚ Γ ＮＥＲ ∑∑ ｐ ≥ ｆ（ｘ），ｉ，ｊ
ＥＲ
５
ｉｊ ｉｊ
Ｌ
５ｉｊ
ｉ ＝１ ｊ ＝１
Ｃ
５
ＥＲ
５ ５ｉｊ ｉｊ ｉｊ
ｚ ＋ｐ ≥ （ ε ＮＥＲ Ｎ 珔 ）ｘ，ｉ，ｊ
６ｉｊ
ｉｊ
ｘ ＋ｚ Γ Ｄ
Ｃ { ｉｊ ６ ＋ｐ ≤ Ｄ ，ｉ，ｊ
６
ｚ ＋ｐ ≥ ε ｄ Ｄ ，ｉ，ｊ （１１）
６ ６ｉｊ ｉｊ
{ ｉｊ ７ ＋ｐ ≤ ｘ，ｉ，ｊ
７ｉｊ
ｉｊ
α Ｄ ＋ｚ Γ Ｄ
Ｃ
７
７ｉｊ
７
ｚ ＋ｐ ≥ αε ｄ Ｄ ，ｉ，ｊ
ｉｊ
ｍ ｎ
{ ｘ ＋ｚ Γ ＡＷ ＋ｐ ≤ ＡＷ，ｉ，ｊ
∑∑
８
ｉｊ
８
Ｃ ８ ｉ ＝１ ｊ ＝１
ｚ ＋ｐ ≥ ε ＡＷ ＡＷ，ｉ，ｊ
８
８
式中：Ｃ—Ｃ为上层水质保护主体的稳健对偶形式的约束条件；Ｃ—Ｃ为下层水资源利用主体的稳健
１
５
４
８
对偶形式的约束条件；ｚ和 ｐ为稳健公式的对偶变换引入的辅助参数。
ｉ ｉ
主从博弈稳健优化对偶模型采用双层模糊优化方法 ［１９］ 求解。上层水质保护主体与下层水资源利用
主体的满意度用隶属度表示，若上层领导者和下层跟从者对于决策问题的满意度达到一致，则得到主
从博弈稳健优化均衡解，公式如下：
｝
ｍａｘ λ ＝ ｛ λ Ｕ ，λ Ｌ
［ｆ（ｘ）］ ≥λ Ｕ１ ［ｆ（ｘ）］ ≥λ Ｌ
μ Ｕ ｘ ≥β ；μ ｆ Ｕ Ｕ ；μ ｆ Ｌ Ｌ
｝；
λ Ｕ ＝ ｍｉｎ｛ β ，λ Ｕ１
，λ∈［０，１］
β ，λ Ｕ１ ，λ Ｌ
０
ｆ（ｘ） － ｆ（ｘ）
Ｌ
Ｌ
Ｕ
［ｆ（ｘ）］ ＝ （１２）
μ ｆ Ｌ Ｌ １ ０
ｓ．ｔ． ｆ － ｆ（ｘ）
Ｕ
Ｌ
Ｌ
０
ｆ（ｘ） － ｆ（ｘ）
Ｕ
Ｌ
Ｕ
［ｆ（ｘ）］ ＝
ｆ－ ｆ（ｘ）
μ ｆ Ｕ Ｕ ０ ０
Ｕ Ｕ Ｌ
１
ｆ（ｘ） － ｆ
Ｕ
Ｕ
＝
μ Ｕ ｘ ０ １
ｆ－ ｆ
Ｕ
Ｕ
— ８ ７ ７ —